Para melhorar o fluxo de ônibus em uma avenida que tem dois semáforos, a prefeitura reduzirá o tempo em que cada sinal ficará vermelho, que atualmente é de 15 segundos a cada 60 segundos. Admita que o instante de chegada de um ônibus a cada semáforo é aleatório.
O engenheiro de tráfego da prefeitura calculou a probabilidade de um ônibus encontrar cada um deles vermelho, obtendo \frac{15}{60}. A partir daí, estabeleceu uma mesma redução na quantidade do tempo, em segundo, em que cada sinal ficará vermelho, de maneira que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os sinais vermelhos numa mesma viagem seja igual a \frac{4}{100}, considerando os eventos independentes.
Para isso, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho, em segundo, estabelecida pelo engenheiro foi de
Esta questão avalia o conceito de probabilidade de eventos independentes. Quando dois eventos são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.
Seja x a redução (em segundos) no tempo em que cada sinal ficará vermelho. Após a redução, cada sinal permanecerá vermelho por 15 - x segundos a cada 60 segundos. Assim, a probabilidade de um ônibus encontrar um sinal vermelho será:
P = \frac{15 - x}{60}
Como os dois semáforos são independentes, a probabilidade de o ônibus encontrar ambos vermelhos na mesma viagem é:
P(\text{ambos vermelhos}) = P \times P = \left(\frac{15 - x}{60}\right)^2 = \frac{4}{100}
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
\frac{15 - x}{60} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
Resolvendo para x:
15 - x = \frac{60}{5} = 12 \implies x = 15 - 12 = 3
Portanto, a redução estabelecida foi de 3 segundos. Verificando: com 12 segundos de vermelho, P = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}, e \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} = \frac{4}{100} ✓
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