Uma imobiliária iniciou uma campanha de divulgação para promover a venda de apartamentos que podem ser pagos em 100 parcelas mensais. O valor da primeira delas é fixado no momento da compra, com o pagamento dessa primeira parcela. A partir da segunda parcela, o valor é determinado pela aplicação de um acréscimo percentual fixo ao valor da parcela anterior. Como atrativo, a imobiliária fará o pagamento de todas as parcelas correspondentes ao mês de aniversário do comprador.
Um cliente, que faz aniversário no mês de maio, decidiu comprar um desses apartamentos por meio do financiamento oferecido pela imobiliária, e pretende escolher o mês mais adequado para realizar essa compra, de modo que o valor total dos pagamentos seja o menor possível.
Qual é o mês que esse cliente deverá escolher para realizar a compra do apartamento?
Esta questão avalia o conceito de Progressão Geométrica (PG) aplicado a um financiamento com reajuste percentual fixo.
As parcelas formam uma PG de razão q > 1, onde q = 1 + \frac{p}{100} e p é o acréscimo percentual fixo. Se a_1 é a primeira parcela, a parcela de índice n (contando a partir de 1) vale a_1 \cdot q^{n-1}. Como q > 1, as parcelas ficam cada vez mais caras ao longo do tempo.
A imobiliária paga todas as parcelas cujo mês de vencimento coincida com maio (mês de aniversário do cliente). Em 100 parcelas mensais, maio pode ocorrer 8 ou 9 vezes, dependendo do mês inicial da compra.
Analisando o mês de início:
Se a compra ocorrer em fevereiro, as parcelas de maio são as de números 4, 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88, 100 — ou seja, 9 parcelas, incluindo a parcela 100 (a mais cara de todas, a_1 \cdot q^{99}).
Se a compra ocorrer em maio, março ou abril, também há 9 parcelas em maio, mas com índices menores (por exemplo, comprando em maio as parcelas são 1, 13, 25, \ldots, 97), gerando uma soma paga pela imobiliária igual a
a_1(1 + q^{12} + q^{24} + \cdots + q^{96})
que é menor que a soma do caso fevereiro:a_1 q^3(1 + q^{12} + q^{24} + \cdots + q^{96})
Se a compra ocorrer de junho a janeiro, apenas 8 parcelas caem em maio — ainda pior para o cliente.
Portanto, fevereiro é o mês ideal: maximiza o valor total pago pela imobiliária (9 parcelas, com a mais cara incluída), minimizando o desembolso do cliente. A diferença entre fevereiro e os demais meses com 9 parcelas é um fator multiplicativo de q^3, q^2 ou q — todos maiores que 1 — confirmando que fevereiro é estritamente o melhor.
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