A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1, P2 e P3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
Esta questão avalia o conceito de circunraio de triângulo equilátero e propriedades de pontos equidistantes.
Como os três postos P₁, P₂ e P₃ estão equidistantes entre si e todos a mesma distância do hospital H, os postos formam um triângulo equilátero de lado 10 km, e H está no circuncentro desse triângulo (único ponto equidistante dos três vértices).
Para um triângulo equilátero de lado a, o circunraio R é calculado pela fórmula geral R = \dfrac{abc}{4K}, onde K é a área. Como a = b = c = 10 e a área do triângulo equilátero é K = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2, temos:
R = \frac{a^3}{4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2} = \frac{a}{\sqrt{3}}
Substituindo a = 10:
R = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx \frac{10 \times 1{,}732}{3} \approx \frac{17{,}32}{3} \approx 5{,}77 \text{ km}
Portanto, a distância entre o hospital e cada posto é de aproximadamente 5,77 km, valor que está entre 5 e 6.
As demais alternativas correspondem a intervalos que não contêm o valor \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5{,}77: os intervalos menores (2 a 3, 4 a 5) seriam válidos apenas para polígonos com lado menor, e os maiores (7 a 8, 8 a 9) superestimariam o circunraio.
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