Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.
O jardineiro escolherá a forma de
hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será \dfrac{k^2\sqrt{3}}{24}.
— Gabarito (resposta correta)hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será \dfrac{3k^2\sqrt{3}}{2}.
quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será \dfrac{k^2}{16}.
triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será \dfrac{k^2\sqrt{3}}{36}.
triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será \dfrac{k^2\sqrt{3}}{4}.
Esta questão avalia o cálculo de áreas de polígonos regulares a partir de um perímetro fixo, comparando qual forma geométrica maximiza a área.
Com um perímetro total de k metros, cada lado de cada figura tem comprimento:
Triângulo equilátero (3 lados): lado = \dfrac{k}{3}. A área do triângulo equilátero é A = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot l^2, então:
A_{\triangle} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\dfrac{k}{3}\right)^2 = \dfrac{k^2\sqrt{3}}{36}
Quadrado (4 lados): lado = \dfrac{k}{4}. A área é A = l^2, então:
A_{\square} = \left(\dfrac{k}{4}\right)^2 = \dfrac{k^2}{16}
Hexágono regular (6 lados): lado = \dfrac{k}{6}. A área do hexágono regular é A = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot l^2, então:
A_{\hexagon} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\dfrac{k}{6}\right)^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{k^2}{36} = \dfrac{k^2\sqrt{3}}{24}
Comparando numericamente (usando \sqrt{3} \approx 1{,}732): A_{\triangle} \approx 0{,}0481k^2, A_{\square} = 0{,}0625k^2 e A_{\hexagon} \approx 0{,}0722k^2.
O hexágono regular possui a maior área, que vale \dfrac{k^2\sqrt{3}}{24}. Isso ilustra o princípio geral de que, para um mesmo perímetro, quanto maior o número de lados de um polígono regular, maior é a sua área.
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