A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o "A" era substituído pelo "D", o "B" pelo "E", o "C" pelo "F", e assim sucessivamente.
Disponível em: www.codifica.ibict.br. Acesso em: 15 out. 2019.
Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o "A" foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.
Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.
A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por
\dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{25}
\dfrac{24}{25} + \dfrac{23}{24} + \dfrac{1}{23}
\dfrac{1}{25} \times \dfrac{1}{24} \times \dfrac{1}{23}
\dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{25} \times \dfrac{1}{25}
\dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{24} \times \dfrac{1}{23}
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia probabilidade condicional em experimentos sem reposição, aplicada ao contexto da Cifra de César.
Em um alfabeto de 26 letras, o deslocamento pode ser de 1 a 25 posições (o deslocamento 0 equivale a nenhuma cifra), portanto há 25 padrões possíveis, dos quais apenas 1 é o correto.
Para acertar somente na terceira tentativa, é necessário que as duas primeiras sejam falhas e a terceira seja correta. Como cada tentativa frustrada é eliminada, o espaço amostral diminui:
1ª tentativa deve falhar: há 24 padrões errados entre os 25 disponíveis, portanto a probabilidade de errar é \dfrac{24}{25}.
2ª tentativa deve falhar: restam 24 padrões (1 foi eliminado), dos quais 23 são errados, portanto a probabilidade de errar é \dfrac{23}{24}.
3ª tentativa deve acertar: restam 23 padrões, e apenas 1 é o correto, portanto a probabilidade de acertar é \dfrac{1}{23}.
Como os três eventos são dependentes e consecutivos, multiplicamos as probabilidades:
P = \dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{24} \times \dfrac{1}{23}
Essa é exatamente a estrutura da probabilidade sem reposição: a cada etapa o denominador e o numerador diminuem, refletindo que as tentativas frustradas são descartadas. As alternativas que somam probabilidades estão erradas porque os eventos não são mutuamente exclusivos e independentes — eles são sequenciais e dependentes. A alternativa que usa denominador fixo 25 nas três frações ignora a eliminação das tentativas frustradas, subestimando corretamente as chances da terceira tentativa.
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