Em uma região com grande incidência de terremotos, observou-se que dois terremotos ocorridos apresentaram magnitudes M1 e M2, medidos segundo a escala Richter, e liberaram energias iguais a E1 e E2, respectivamente. Entre os estudiosos do assunto, é conhecida uma expressão algébrica relacionando esses valores dada por
M_2 - M_1 = \dfrac{2}{3}\log\left(\dfrac{E_2}{E_1}\right)
Estudos mais abrangentes observaram que o primeiro terremoto apresentou a magnitude M1 = 6,9 e a energia liberada foi um décimo da observada no segundo terremoto.
O valor aproximado da magnitude M2 do segundo terremoto, expresso com uma casa decimal, é igual a
Esta questão avalia o uso de logaritmos na resolução de uma fórmula empírica da Escala Richter.
A fórmula fornecida é:
M_2 - M_1 = \dfrac{2}{3}\log\left(\dfrac{E_2}{E_1}\right)
Os dados fornecidos são: M_1 = 6{,}9 e a energia do primeiro terremoto é um décimo da do segundo, ou seja, E_1 = \dfrac{E_2}{10}, o que equivale a dizer que \dfrac{E_2}{E_1} = 10.
Substituindo na fórmula:
M_2 - 6{,}9 = \dfrac{2}{3}\log(10)
Como \log(10) = 1:
M_2 - 6{,}9 = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667
Portanto:
M_2 \approx 6{,}9 + 0{,}7 = 7{,}6
O valor aproximado de M_2, com uma casa decimal, é 7,6. As alternativas com valores menores que M_1 = 6{,}9 estão erradas pois o segundo terremoto liberou mais energia, logo deve ter maior magnitude. As alternativas com valores como 8,2 ou 8,4 resultariam de erros como usar \log(E_2/E_1) = 10 em vez de \log(10) = 1.
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