Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões 10 cm por 20 cm. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões será utilizada como altura, as duas opções para formar a possível embalagem.
Dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a
4\,000\pi
2\,000\pi
\dfrac{4\,000}{\pi}
\dfrac{1\,000}{\pi}
— Gabarito (resposta correta)\dfrac{500}{\pi}
O conceito avaliado é o cálculo do volume de um cilindro circular reto a partir das dimensões de sua superfície lateral.
A folha retangular de 10 cm × 20 cm é enrolada para formar a superfície lateral do cilindro. Isso significa que um dos lados torna-se a altura h e o outro torna-se a circunferência da base 2\pi r.
Embalagem 1 (altura = 20 cm, circunferência = 10 cm):
2\pi r = 10 \Rightarrow r = \frac{5}{\pi}
V_1 = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{5}{\pi}\right)^2 \cdot 20 = \pi \cdot \frac{25}{\pi^2} \cdot 20 = \frac{500}{\pi}
Embalagem 2 (altura = 10 cm, circunferência = 20 cm):
2\pi r = 20 \Rightarrow r = \frac{10}{\pi}
V_2 = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 \cdot 10 = \pi \cdot \frac{100}{\pi^2} \cdot 10 = \frac{1\,000}{\pi}
Como \dfrac{1\,000}{\pi} > \dfrac{500}{\pi}, a Embalagem 2 possui maior capacidade, com volume igual a \dfrac{1\,000}{\pi} cm³.
Nota: um erro comum é confundir a circunferência com o raio ou usar o lado da folha diretamente como raio — é fundamental lembrar que o lado enrolado corresponde a 2\pi r, não a r.
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