Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.
Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.
Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:
tipo I: α = 15° e R = 20 m;
tipo II: α = 30° e R = 22 m;
tipo III: α = 40° e R = 12 m;
tipo IV: α = 60° e R = 16 m;
tipo V: α = 90° e R = 10 m.
Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m2, com o menor preço possível.
Use 3 como valor aproximado para π.
O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
A área de cobertura do sensor corresponde à área de um setor circular, calculada pela fórmula:
A = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot R^2
onde \alpha é o ângulo em graus e R o raio em metros. Usando \pi \approx 3, calcula-se a área de cada tipo:
Tipo I: \frac{15}{360} \cdot 3 \cdot 20^2 = \frac{1}{24} \cdot 1200 = 50 \text{ m}^2 — abaixo de 70 m², não atende.
Tipo II: \frac{30}{360} \cdot 3 \cdot 22^2 = \frac{1}{12} \cdot 1452 = 121 \text{ m}^2 — atende, mas com área muito maior.
Tipo III: \frac{40}{360} \cdot 3 \cdot 12^2 = \frac{1}{9} \cdot 432 = 48 \text{ m}^2 — abaixo de 70 m², não atende.
Tipo IV: \frac{60}{360} \cdot 3 \cdot 16^2 = \frac{1}{6} \cdot 768 = 128 \text{ m}^2 — atende, mas com área ainda maior.
Tipo V: \frac{90}{360} \cdot 3 \cdot 10^2 = \frac{1}{4} \cdot 300 = 75 \text{ m}^2 — atende ao mínimo de 70 m².
Os sensores que cobrem pelo menos 70 m² são os tipos II (121 m²), IV (128 m²) e V (75 m²). Como maior área implica maior preço, o proprietário deve escolher o de menor área suficiente, que é o tipo V com 75 m².
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