Em uma loja de defensivos agrícolas, os preços de alguns produtos foram divulgados em um cartaz.
Sabe-se que 1 litro de defensivo do Tipo A é suficiente para aplicação em 0,5 hectare (ha), enquanto que 1 litro de defensivo do Tipo B é suficiente para aplicação em 0,4 ha. Um agricultor precisa comprar, nessa loja, uma quantidade de litros de defensivo suficiente para aplicar em uma área de 20 ha, além de levar uma máscara para aplicação.
O valor mínimo, em real, a ser gasto pelo agricultor é
Esta questão avalia programação linear e otimização de custos com restrições de cobertura e promoção.
Os dados do cartaz são: Defensivo Tipo A — R$ 4,20/litro; Defensivo Tipo B — R$ 3,00/litro; Máscara — R$ 12,50. Promoção: compre pelo menos 35 litros do Tipo A e ganhe a máscara gratuitamente.
Para cobrir 20 ha, sendo Tipo A suficiente para 0,5 ha/litro e Tipo B para 0,4 ha/litro, com x litros do Tipo A e y do Tipo B, a restrição de cobertura é:
0{,}5x + 0{,}4y = 20 \implies y = 50 - 1{,}25x, \quad 0 \leq x \leq 40
Caso 1 — Sem promoção (x < 35, agricultora paga pela máscara):
C = 4{,}20x + 3{,}00(50 - 1{,}25x) + 12{,}50 = 0{,}45x + 162{,}50
Como o coeficiente de x é positivo, o custo mínimo ocorre em x = 0 (comprar apenas Tipo B):
C_{\min} = 0{,}45 \cdot 0 + 162{,}50 = \mathbf{R\$\ 162{,}50}
Neste caso compra-se 50 litros do Tipo B (50 \times 3{,}00 = 150{,}00) mais a máscara (12{,}50).Caso 2 — Com promoção (x \geq 35, máscara gratuita):
C = 4{,}20x + 3{,}00(50 - 1{,}25x) = 0{,}45x + 150
O mínimo ocorre em x = 35:
C = 0{,}45 \times 35 + 150 = 15{,}75 + 150 = \mathbf{R\$\ 165{,}75}
Comparando os dois casos: \min(162{,}50;\; 165{,}75) = \mathbf{R\$\ 162{,}50}.
Portanto, o valor mínimo gasto é R$ 162,50, comprando 50 litros do Tipo B e pagando a máscara separadamente.
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