Para abrir a porta de uma empresa, cada funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado alfanumérico como o representado na figura.
Por exemplo: a tecla que contém o número 2 traz as letras correlacionadas A, B e C. Cada toque nessa tecla mostra, sequencialmente, os seguintes caracteres: 2, A, B e C. Para os próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas funcionam da mesma maneira.
As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem conter 5 caracteres, sendo 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem. Um funcionário irá cadastrar a sua primeira senha, podendo escolher entre as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas letras correlacionadas, quando houver.
O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é
Esta questão avalia análise combinatória, especificamente o conceito de arranjos simples (permutações sem repetição de elementos distintos em ordem).
O primeiro passo é identificar os caracteres disponíveis nas teclas autorizadas: 1 (sem letras), 2 (letras A, B, C), 5 (letras J, K, L), 7 (letras P, Q, R, S) e 0 (sem letras).
Dígitos disponíveis: {0, 1, 2, 5, 7} → 5 dígitos no total.
Letras disponíveis: A, B, C (tecla 2) + J, K, L (tecla 5) + P, Q, R, S (tecla 7) = 3 + 3 + 4 = 10 letras no total.
Parte 1 — escolher os 2 algarismos distintos em ordem: como a posição de cada dígito importa (a senha 12 é diferente de 21), usamos o arranjo simples:
A(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20
Parte 2 — escolher as 3 letras diferentes em ordem: analogamente, a ordem das letras na senha é relevante:
A(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720
Total de senhas possíveis pelo Princípio Multiplicativo:
20 \times 720 = 14\,400
As alternativas que apresentam valores menores (como 11 520 ou 18 000) resultam de erros no levantamento dos caracteres disponíveis — por exemplo, não contabilizar corretamente as 4 letras da tecla 7. Os valores muito maiores (312 000 e 390 000) surgem quando se considera, equivocadamente, letras de todas as teclas do teclado, sem restringir às teclas permitidas.
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