Uma criança, utilizando um aplicativo, escreveu uma mensagem para enviar a um amigo. Essa mensagem foi escrita seguindo estas etapas:
A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a 20ª etapa. Em seguida, enviou a mensagem.
Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?
3 \times 2^{19}
— Gabarito (resposta correta)3 \times 2^{20}
3 \times 2^{21}
3 \times 2^{20} - 1
3 \times 2^{20} - 3
Esta questão avalia o reconhecimento e aplicação de uma progressão geométrica (PG).
Observando as etapas descritas na tabela:
Etapa 1: a criança insere 3 figuras. Total = 3.
Etapa 2: copia o que havia na etapa 1 (3 figuras) e cola ao lado. Total = 3 + 3 = 6.
Etapa 3: copia o que havia na etapa 2 (6 figuras) e cola ao lado. Total = 6 + 6 = 12.
Percebe-se que a cada etapa o total de figuras dobra, formando uma PG de razão r = 2 e primeiro termo a_1 = 3.
O termo geral de uma PG é dado por a_n = a_1 \cdot r^{n-1}, portanto:
a_{20} = 3 \cdot 2^{20-1} = 3 \cdot 2^{19}
Na 20ª etapa, o total de figuras na mensagem enviada é 3 \times 2^{19}.
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