Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 m e 6 m, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 cm.
Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas.
A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível.
A compra será realizada na loja
Esta questão avalia o raciocínio geométrico aplicado a uma situação prática de otimização de custo.
As colunas são dispostas ao longo de uma linha paralela ao lado de 3 m da sala. Cada coluna tem diâmetro 2r. Com n colunas nessa fileira, há (n+1) vãos (entre as paredes e entre colunas consecutivas). Para que nenhum vão supere 15 cm = 0,15 m, a condição é:
\frac{3 - n \cdot 2r}{n + 1} \leq 0{,}15
Resolvendo para n:
3 - 2rn \leq 0{,}15(n+1) \implies n \geq \frac{2{,}85}{0{,}15 + 2r}
Calculando o número mínimo de colunas para cada loja:
Loja I (r = 0{,}05 m): n \geq \dfrac{2{,}85}{0{,}25} = 11{,}4 \Rightarrow n = 12 colunas → custo: 12 \times 60 = \text{R\$ }720
Loja II (r = 0{,}10 m): n \geq \dfrac{2{,}85}{0{,}35} \approx 8{,}14 \Rightarrow n = 9 colunas → custo: 9 \times 70 = \text{R\$ }630
Loja III (r = 0{,}12 m): n \geq \dfrac{2{,}85}{0{,}39} \approx 7{,}31 \Rightarrow n = 8 colunas → custo: 8 \times 75 = \text{R\$ }600
Loja IV (r = 0{,}15 m): n \geq \dfrac{2{,}85}{0{,}45} \approx 6{,}33 \Rightarrow n = 7 colunas → custo: 7 \times 90 = \text{R\$ }630
Loja V (r = 0{,}20 m): n \geq \dfrac{2{,}85}{0{,}55} \approx 5{,}18 \Rightarrow n = 6 colunas → custo: 6 \times 120 = \text{R\$ }720
O menor valor total é R$ 600, obtido na Loja III, com 8 colunas de raio 12 cm, onde cada vão resulta em exatamente \dfrac{3 - 8 \times 0{,}24}{9} = \dfrac{1{,}08}{9} = 0{,}12 m = 12 cm ≤ 15 cm.
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