Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
Esta questão avalia otimização de área com restrição orçamentária, combinando inequação linear e função quadrática.
Montando a restrição de custo: O galinheiro tem dois lados de comprimento L (a R$ 20,00/m) e dois lados de comprimento C (a R$ 15,00/m). O custo total é:
2 \cdot 20L + 2 \cdot 15C \leq 6000
40L + 30C \leq 6000
Para maximizar a área, utilizamos o orçamento máximo:
40L + 30C = 6000 \implies C = \frac{6000 - 40L}{30} = 200 - \frac{4L}{3}
Maximizando a área: A área do retângulo é A = L \cdot C, então:
A(L) = L \cdot \left(200 - \frac{4L}{3}\right) = 200L - \frac{4L^2}{3}
Essa é uma função quadrática com concavidade negativa. O ponto de máximo ocorre em:
L = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)} = \frac{200 \cdot 3}{8} = 75 \text{ m}
Calculando C:
C = 200 - \frac{4 \cdot 75}{3} = 200 - 100 = 100 \text{ m}
Verificação: 2 \times 75 \times 20 + 2 \times 100 \times 15 = 3000 + 3000 = 6000 ✓
O maior lado é C = 100 m, portanto a resposta correta é 100 metros. As demais alternativas correspondem a valores que ou violam o orçamento ou não representam o lado maior do galinheiro otimizado.
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