Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição de dois sólidos distintos, um com a forma de um prisma hexagonal regular reto e o outro com a forma de um tronco de pirâmide hexagonal reta. A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma.
Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas.
Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?
Esta questão avalia geometria espacial — especificamente a identificação e classificação das faces de um poliedro composto, combinada com raciocínio sobre congruência de figuras planas.
O protótipo é formado pela justaposição de um prisma hexagonal regular reto e um tronco de pirâmide hexagonal regular reto, onde a base maior do tronco coincide com uma das bases do prisma. Essa face comum torna-se interna ao sólido composto, deixando de pertencer à superfície externa.
As faces externas do poliedro resultante são:
1. Base hexagonal inferior do prisma — hexágono regular com lado a (o mesmo da base maior do tronco). É única. → 1 cor
2. Base hexagonal superior do tronco — hexágono regular com lado b, onde b < a. Não é congruente à base inferior. → 1 cor diferente
3. Faces laterais do prisma — 6 retângulos congruentes entre si (mesma largura a e mesma altura h_1). → 1 cor
4. Faces laterais do tronco — 6 trapézios congruentes entre si (bases paralelas a e b, com a \neq b), mas não congruentes com os retângulos do prisma. → 1 cor diferente
O total de faces é 1 + 1 + 6 + 6 = 14, formando 4 grupos de faces congruentes. Portanto, são necessárias 4 cores para pintar o protótipo conforme o critério estabelecido.
Alternativas com 3 ou 6 cores ignoram que as duas bases hexagonais têm tamanhos distintos (não são congruentes) ou que retângulos e trapézios também diferem entre si. Valores como 8 ou 9 seriam o número total de faces de um dos sólidos isolados, não o número de grupos de congruência.
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