Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição de dois sólidos distintos, um com a forma de um prisma hexagonal regular reto e o outro com a forma de um tronco de pirâmide hexagonal reta. A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma.
Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas.
Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?
Esta questão avalia o conceito de poliedros convexos e a identificação de faces congruentes em sólidos geométricos compostos.
O protótipo é formado pela justaposição de um prisma hexagonal regular reto e um tronco de pirâmide hexagonal reta, onde a base maior do tronco coincide com uma base do prisma. Essa face de contato fica interna ao sólido e não é pintada.
As faces externas do sólido composto são:
1. Base inferior do prisma — um hexágono regular de lado a. É única, formando um grupo de 1 face.
2. Base superior do tronco — um hexágono regular de lado b, com b < a. É não congruente com a base inferior (tamanho diferente), formando outro grupo de 1 face.
3. Faces laterais do prisma — 6 retângulos congruentes entre si (mesma base a e mesma altura h_1), formando um grupo de 6 faces.
4. Faces laterais do tronco — 6 trapézios congruentes entre si (bases paralelas a e b, mesma altura inclinada h_2), formando um grupo de 6 faces.
Nenhum desses quatro grupos é congruente com outro: hexágono maior ≠ hexágono menor ≠ retângulo ≠ trapézio. Portanto, são necessárias exatamente 4 cores, uma para cada grupo de faces congruentes.
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