Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de "confundir" os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado.
Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.
Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?
Este problema envolve o conceito de mediatriz de um segmento: o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos fixos é a mediatriz do segmento que os une. O herói deve se mover na mediatriz do segmento TV, pois assim estará sempre à mesma distância dos dois vilões.
Da figura, as coordenadas dos vilões são T = (2, 4) e V = (8, 6). A posição inicial do herói é S = (6, 2).
Passo 1 — Ponto médio de TV (a mediatriz passa por ele):
M = \left(\frac{2+8}{2},\ \frac{4+6}{2}\right) = (5,\ 5)
Passo 2 — Inclinação de TV:
m_{TV} = \frac{6-4}{8-2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
Passo 3 — Inclinação da mediatriz (perpendicular a TV):
m_\perp = -\frac{1}{m_{TV}} = -3
Passo 4 — Equação da mediatriz passando por M=(5,5) com coeficiente angular -3:
y - 5 = -3(x - 5) \implies y = -3x + 20
Verificação: substituindo S = (6, 2): y = -3\cdot6 + 20 = 2 ✓. O ponto S pertence à reta, confirmando que o herói parte já na trajetória segura. As demais alternativas apresentam coeficientes angulares ou termos independentes incorretos: as que usam coeficiente +3 não são perpendiculares a TV, e as que usam -3 mas com termo independente diferente de 20 não passam pelo ponto médio de TV.
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