A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma.
As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.
Quantos vértices tem esse poliedro?
A questão avalia a capacidade de contar vértices de um poliedro a partir de suas planificações e representações visuais, associando a estrutura geométrica do sólido.
A cúpula pentagonal giralongada pode ser decomposta em duas partes unidas por uma face decagonal (10 lados):
1. Cúpula pentagonal (parte superior): possui uma face pentagonal no topo (5 vértices) e uma face decagonal na base (10 vértices), totalizando 15 vértices.
2. Antiprisma decagonal (parte inferior): possui dois anéis de 10 vértices cada (20 no total), sendo o anel superior compartilhado com a base da cúpula.
Unindo as duas partes pela face decagonal comum (10 vértices compartilhados), o total de vértices é:
V = 5 + 10 + 10 = 25
Onde os 5 são os vértices do pentágono superior, os primeiros 10 são os vértices do anel médio (base da cúpula = topo do antiprisma), e os últimos 10 são os vértices do anel inferior (base decagonal do antiprisma), visível como a face vermelha na planificação.
Isso pode ser verificado pela fórmula de Euler V - A + F = 2: o sólido tem F = 22 faces (1 pentágono + 5 quadrados + 15 triângulos + 1 decágono) e A = 45 arestas, resultando em 25 - 45 + 22 = 2 ✓
As demais opções (21, 55, 80, 110) não correspondem à contagem correta dos vértices desse sólido e não satisfazem a fórmula de Euler para a configuração de faces apresentada.
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