O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:
1º - partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;
2º - partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.
No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:
1º - partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;
2º - partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.
A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.
O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.
Considere 0,64 como aproximação para cos 50°.
A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,
Esta questão avalia trigonometria aplicada a vetores e navegação, envolvendo decomposição de deslocamentos em coordenadas e uso da lei dos cossenos.
Configuração do sistema de coordenadas
Adote eixo x apuntando para Leste e eixo y para Norte, com velocidade constante v. Em rumos de navegação (medidos em graus horários a partir do Norte):
O deslocamento num rumo \theta tem componentes (v\sin\theta,\; v\cos\theta).
Ponto R (rota planejada)
Trecho PQ: rumo 110°, 4 horas \Rightarrow vetor 4v(\sin 110°,\, \cos 110°).
Trecho QR: rumo 90°, 2 horas \Rightarrow vetor 2v(1,\, 0).
R = P + 4v(\sin 110°,\, \cos 110°) + 2v(1,\, 0)
Ponto T (rota executada)
Trecho PS: rumo 340°, 4 horas \Rightarrow vetor 4v(\sin 340°,\, \cos 340°).
Trecho ST: rumo 90°, 2 horas \Rightarrow vetor 2v(1,\, 0).
T = P + 4v(\sin 340°,\, \cos 340°) + 2v(1,\, 0)
Vetor \overrightarrow{TR}
\overrightarrow{TR} = R - T = 4v\bigl(\sin 110° - \sin 340°,\;\cos 110° - \cos 340°\bigr)
Usando as identidades \sin 110° = \sin 70° = \cos 20°, \sin 340° = -\sin 20°, \cos 110° = -\cos 70° = -\sin 20° e \cos 340° = \cos 20°:
\Delta x = 4v(\cos 20° + \sin 20°)
\Delta y = 4v(-\sin 20° - \cos 20°) = -\Delta x
Como \Delta x > 0 e \Delta y = -\Delta x, o vetor aponta para Sudeste com ângulo de 45° em relação ao Sul, logo o rumo é 135°.
Cálculo do tempo
|\overrightarrow{TR}|^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = 2(4v)^2(\cos 20° + \sin 20°)^2
Expandindo (\cos 20° + \sin 20°)^2 = 1 + 2\sin 20°\cos 20° = 1 + \sin 40°... porém o caminho mais direto usa a fórmula:
|\overrightarrow{TR}|^2 = 16v^2\!\left[(\sin 70°+\sin 20°)^2 + (\cos 70°+\cos 20°)^2\right]
= 16v^2\!\left[2 + 2(\sin 70°\sin 20° + \cos 70°\cos 20°)\right]
= 16v^2\!\left[2 + 2\cos(70°-20°)\right] = 32v^2(1+\cos 50°)
Com \cos 50° \approx 0{,}64:
|\overrightarrow{TR}|^2 = 32v^2 \times 1{,}64 = 52{,}48\,v^2
|\overrightarrow{TR}| \approx 7{,}24\,v
O tempo de navegação é \dfrac{7{,}24\,v}{v} \approx 7{,}25\text{ h} = \textbf{7 horas e 15 minutos}.
Portanto, o rumo correto é 135° e o tempo aproximado é 7 horas e 15 minutos.
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