O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:
1º - partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;
2º - partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.
No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:
1º - partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;
2º - partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.
A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.
O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.
Considere 0,64 como aproximação para cos 50°.
A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,
Esta questão avalia trigonometria aplicada à navegação com azimutes — direções medidas em graus no sentido horário a partir do Norte.
Adota-se um referencial com eixo x (Leste) e eixo y (Norte). Para um deslocamento de módulo d na direção azimutal \theta, as componentes são \Delta x = d\sin\theta e \Delta y = d\cos\theta. Seja v a velocidade constante do barco.
Posição de R em relação a P (rota planejada):
R_x = 4v\sin 110° + 2v = 4v\sin 70° + 2v
R_y = 4v\cos 110° = -4v\cos 70°
Posição de T em relação a P (rota executada):
T_x = 4v\sin 340° + 2v = -4v\sin 20° + 2v
T_y = 4v\cos 340° = 4v\cos 20°
Vetor de T até R:
\Delta x = R_x - T_x = 4v(\sin 70° + \sin 20°)
\Delta y = R_y - T_y = -4v(\cos 70° + \cos 20°)
Como \sin 70° = \cos 20° e \sin 20° = \cos 70°, obtemos \Delta x = 4v(\cos 20° + \cos 70°) e \Delta y = -4v(\cos 20° + \cos 70°), ou seja, \Delta x = -\Delta y > 0.
O vetor TR tem componente Leste igual à componente Sul — direção exatamente Sudeste, azimute 135°.
Cálculo do tempo:
|TR| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \Delta x\sqrt{2} = 4v\sqrt{2}(\cos 20° + \cos 70°)
Pela fórmula de soma em produto:
\cos 20° + \cos 70° = 2\cos 45°\cos 25° = \sqrt{2}\cos 25°
Substituindo:
|TR| = 4v\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cos 25° = 8v\cos 25°
O tempo é t = \dfrac{|TR|}{v} = 8\cos 25°. Usando a fórmula do ângulo duplo \cos 50° = 2\cos^2 25° - 1 com \cos 50° \approx 0{,}64:
\cos^2 25° = \frac{1 + 0{,}64}{2} = 0{,}82 \implies \cos 25° = \sqrt{0{,}82} \approx 0{,}906
t \approx 8 \times 0{,}906 \approx 7{,}25 \text{ horas} = \textbf{7 horas e 15 minutos}
Portanto, o dono da embarcação deve seguir na direção 135° por aproximadamente 7 horas e 15 minutos para alcançar o ponto R.
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