Em um estudo clínico, 55 mulheres foram distribuídas, aleatoriamente, em 5 grupos de 11 pessoas. Para testar uma nova medicação, será escolhido um grupo no qual a maioria das mulheres tenham idades entre 20 e 30 anos. Os demais grupos tomarão placebo ou medicações já existentes no mercado. O quadro, parcialmente preenchido, informa alguns dados relativos às idades das mulheres desses grupos.
Mesmo com o quadro incompleto, foi possível selecionar um desses grupos porque, apenas com os dados apresentados no quadro, foi identificado um grupo que, certamente, atendia ao critério de escolha.
O grupo escolhido foi o
Esta questão avalia o conhecimento sobre medidas de dispersão, em especial o desvio padrão, e como ele indica a concentração dos dados em torno da média.
O critério de seleção é que a maioria das mulheres (ou seja, pelo menos 6 das 11) tenha idade entre 20 e 30 anos.
O quadro fornece os seguintes dados:
Grupo 1 — média 25, desvio padrão 10: com dispersão tão grande, as idades podem variar muito em torno de 25, não garantindo maioria entre 20 e 30.
Grupo 2 — mediana 25, desvio padrão 9: dispersão alta, sem garantia de maioria no intervalo.
Grupo 3 — moda 25: indica apenas o valor mais frequente; nada se pode concluir sobre a distribuição geral das idades.
Grupo 5 — menor idade 20, maior idade 35: o intervalo inclui idades acima de 30, e pode haver muitas mulheres fora da faixa desejada.
Grupo 4 — média 25, desvio padrão 1: aqui está a chave. Com \bar{x} = 25 e \sigma = 1, temos:
\sum_{i=1}^{11}(x_i - 25)^2 = 11 \cdot \sigma^2 = 11 \cdot 1 = 11
Se um único valor desviasse ao máximo, sendo as demais 10 iguais a 25, teríamos (x - 25)^2 = 11, logo |x - 25| = \sqrt{11} \approx 3{,}3. Isso significa que nenhuma idade pode se afastar mais de \approx 3{,}3 anos da média. Assim, todas as idades ficam entre aproximadamente 21{,}7 e 28{,}3, ou seja, estão certamente dentro do intervalo de 20 a 30 anos. Portanto, é o único grupo que, com certeza, atende ao critério.
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