Em um estudo clínico, 55 mulheres foram distribuídas, aleatoriamente, em 5 grupos de 11 pessoas. Para testar uma nova medicação, será escolhido um grupo no qual a maioria das mulheres tenham idades entre 20 e 30 anos. Os demais grupos tomarão placebo ou medicações já existentes no mercado. O quadro, parcialmente preenchido, informa alguns dados relativos às idades das mulheres desses grupos.
Mesmo com o quadro incompleto, foi possível selecionar um desses grupos porque, apenas com os dados apresentados no quadro, foi identificado um grupo que, certamente, atendia ao critério de escolha.
O grupo escolhido foi o
Esta questão avalia o entendimento de medidas de dispersão, especialmente o desvio padrão, e como elas garantem (ou não) que os dados estejam dentro de um intervalo.
O critério é identificar, com certeza, um grupo cuja maioria das 11 mulheres tenha idade entre 20 e 30 anos.
Por que o Grupo 4 é a resposta?
O Grupo 4 possui média \bar{x} = 25 e desvio padrão \sigma = 1. O desvio padrão mede o quanto os dados se afastam da média, e o desvio padrão da soma dos quadrados dos afastamentos satisfaz:
\sum_{i=1}^{11}(x_i - 25)^2 = n \cdot \sigma^2 = 11 \cdot 1^2 = 11
Se qualquer idade estivesse fora do intervalo [20, 30], teríamos |x_i - 25| \geq 5, logo (x_i - 25)^2 \geq 25. Mas como a soma total dos quadrados é apenas 11, é matematicamente impossível que qualquer valor esteja fora de [20, 30]. Ou seja, todas as 11 mulheres do Grupo 4 têm idades entre 20 e 30 anos — satisfazendo com certeza o critério.
Por que os demais grupos não podem ser escolhidos com certeza?
O Grupo 1 tem desvio padrão 10: os valores podem se afastar muito de 25, e algumas idades podem estar fora do intervalo desejado. O Grupo 2 tem desvio padrão 9, com o mesmo problema. O Grupo 3 informa apenas a moda 25, o que não garante que a maioria esteja entre 20 e 30. O Grupo 5 tem menor idade 20 e maior idade 35: as mulheres podem estar concentradas, por exemplo, entre 30 e 35, sem que a maioria esteja na faixa exigida.
Apenas o Grupo 4, com desvio padrão extremamente pequeno (\sigma = 1) em torno da média 25, garante com certeza matemática que todas as idades ficam no intervalo [20, 30].
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