Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo
D=k+\operatorname{tg}[p(T+m)]
sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.
A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é
D=2{,}5+\operatorname{tg}\left[30\left(T-\frac{5-2\pi}{2}\right)\right]
D=4+\operatorname{tg}\left[30\left(T+\frac{5}{2}\right)\right]
D=4+\operatorname{tg}\left[2{,}5\left(T+\frac{5+2\pi}{2}\right)\right]
D=30+\operatorname{tg}\left[\frac{1}{2}(T-5)\right]
D=30+\operatorname{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T-\frac{5}{2}\right)\right]
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia a interpretação gráfica de funções trigonométricas do tipo tangente, especificamente a identificação dos parâmetros de translação e escala a partir das assíntotas e de pontos notáveis do gráfico.
O gráfico mostra duas assíntotas verticais em T = \dfrac{5-2\pi}{2} e T = \dfrac{5+2\pi}{2}.
Passo 1 — Calcular o período e o parâmetro p.
A distância entre as assíntotas consecutivas corresponde ao período da tangente:
\text{Período} = \frac{5+2\pi}{2} - \frac{5-2\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} = 2\pi
Como o período da função \operatorname{tg}[p(T+m)] é \dfrac{\pi}{p}, temos:
\frac{\pi}{p} = 2\pi \implies p = \frac{1}{2}
Passo 2 — Encontrar o ponto médio entre as assíntotas.
O ponto médio é onde a tangente vale zero:
T_0 = \frac{\frac{5-2\pi}{2} + \frac{5+2\pi}{2}}{2} = \frac{5}{2}
Passo 3 — Determinar m.
No ponto médio T = \dfrac{5}{2}, o argumento deve ser zero:
\frac{1}{2}\left(\frac{5}{2} + m\right) = 0 \implies m = -\frac{5}{2}
Passo 4 — Determinar k.
Em T = \dfrac{5}{2}, a tangente vale zero, logo D = k. O gráfico indica que a curva passa pela ordenada D = 30 nesse ponto, portanto k = 30.
Conclusão: substituindo os parâmetros encontrados:
D = 30 + \operatorname{tg}\!\left[\frac{1}{2}\!\left(T - \frac{5}{2}\right)\right]
Verificação das assíntotas: \dfrac{1}{2}\!\left(T - \dfrac{5}{2}\right) = \pm\dfrac{\pi}{2} resulta em T = \dfrac{5}{2} \pm \pi = \dfrac{5 \pm 2\pi}{2}, confirmando o gráfico.
As demais alternativas apresentam parâmetros p, k ou m incompatíveis com as assíntotas e/ou o valor de D no ponto médio observados no gráfico.
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