Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo
D=k+\operatorname{tg}[p(T+m)]
sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.
A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é
D=2{,}5+\operatorname{tg}\left[30\left(T-\frac{5-2\pi}{2}\right)\right]
D=4+\operatorname{tg}\left[30\left(T+\frac{5}{2}\right)\right]
D=4+\operatorname{tg}\left[2{,}5\left(T+\frac{5+2\pi}{2}\right)\right]
D=30+\operatorname{tg}\left[\frac{1}{2}(T-5)\right]
D=30+\operatorname{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T-\frac{5}{2}\right)\right]
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia a interpretação gráfica da função tangente e a determinação de seus parâmetros a partir do gráfico.
A função é do tipo D = k + \operatorname{tg}[p(T + m)]. As assíntotas verticais da tangente ocorrem nos valores de T onde o argumento vale \pm\frac{\pi}{2} + n\pi.
1. Determinando p (fator de frequência):
O gráfico indica assíntotas verticais em T = \dfrac{5-2\pi}{2} e T = \dfrac{5+2\pi}{2}. A distância entre assíntotas consecutivas de \operatorname{tg}[p(T+m)] é \dfrac{\pi}{p}, portanto:
\frac{\pi}{p} = \frac{5+2\pi}{2} - \frac{5-2\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} = 2\pi \implies p = \frac{1}{2}
2. Determinando m (translação horizontal):
O ponto médio entre as assíntotas, onde a tangente cruza o valor central, está em T = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5-2\pi}{2}+\dfrac{5+2\pi}{2}\right) = \dfrac{5}{2}. Nesse ponto o argumento deve ser zero, logo:
\frac{1}{2}\left(\frac{5}{2} + m\right) = 0 \implies m = -\frac{5}{2}
3. Determinando k (translação vertical):
Do gráfico, a curva passa pelo ponto \left(\dfrac{5}{2},\, 30\right). Substituindo T = \dfrac{5}{2}:
D = k + \operatorname{tg}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{5}{2} - \frac{5}{2}\right)\right] = k + \operatorname{tg}(0) = k \implies k = 30
Resultado:
D = 30 + \operatorname{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T - \frac{5}{2}\right)\right]
que corresponde à alternativa correta, confirmada pelas assíntotas em \dfrac{5 \pm 2\pi}{2} e pelo ponto \left(2{,}5;\ 30\right) visível no gráfico.Todas as questões do ENEM · Simulado ENEM — questões com gabarito e explicação, grátis e sem cadastro.
