Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.
Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
Esta questão avalia o Princípio Fundamental da Contagem com restrições, um tema central de Análise Combinatória.
O grupo possui 10 casais, totalizando 20 pessoas. A restrição é que no máximo uma pessoa por casal pode ocupar um cargo.
Aplicando o princípio multiplicativo cargo a cargo:
Presidente: qualquer das 20 pessoas pode ser escolhida. Restam 20 possibilidades.
Secretário: o casal do presidente fica bloqueado (2 pessoas excluídas). Restam 20 - 2 = 18 possibilidades.
Tesoureiro: os casais do presidente e do secretário ficam bloqueados (4 pessoas excluídas). Restam 20 - 4 = 16 possibilidades.
O total de diretorias possíveis é:
20 \times 18 \times 16
A alternativa que conta 20 \times 19 \times 18 erra ao ignorar a restrição de casais — ela simplesmente diminui 1 a cada cargo, como se qualquer pessoa pudesse ser escolhida livremente. Já as opções com 10 \times 9 \times 8 erram por considerar apenas 10 representantes (um por casal), esquecendo que qualquer dos dois membros pode ser escolhido individualmente.
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