Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.
Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
Este problema avalia análise combinatória com restrições, especificamente arranjos com condições de exclusão.
Temos 20 pessoas no total (10 casais × 2) e 3 cargos distintos a preencher. A restrição é que no máximo uma pessoa por casal pode ocupar cargo.
Vamos contar as escolhas posição a posição:
Presidente: qualquer uma das 20 pessoas pode ser escolhida. São 20 opções.
Secretário: excluímos o presidente e o cônjuge dele (que é do mesmo casal). Restam 20 - 2 = 18 opções.
Tesoureiro: excluímos o presidente, o cônjuge do presidente, o secretário e o cônjuge do secretário. Restam 20 - 4 = 16 opções.
Pelo princípio multiplicativo, o total de diretorias é:
20 \times 18 \times 16
A opção 20 \times 19 \times 18 ignora completamente a restrição dos casais, representando apenas um arranjo simples de 20 pessoas. As opções envolvendo 10 \times 9 \times 8 tratam equivocadamente os casais como unidades sem considerar qual dos dois membros ocupa o cargo.
Todas as questões do ENEM · Simulado ENEM — questões com gabarito e explicação, grátis e sem cadastro.
