A figura ilustra o projeto visual para confecção de uma medalha comemorativa, com a forma de um cilindro circular reto, de diâmetro 6 cm e espessura 3 mm.
A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 100 dessas medalhas.
Considere 3,1 como valor aproximado para π.
Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?
Esta questão avalia o cálculo de volume de sólidos geométricos — especificamente a diferença entre um cilindro e um prisma de base quadrada.
Identificando as medidas: A medalha é um cilindro circular reto com diâmetro d = 6 cm (raio r = 3 cm) e espessura (altura) h = 3 \text{ mm} = 0{,}3 cm.
Volume do cilindro (medalha inteira):
V_{\text{cil}} = \pi r^2 h = 3{,}1 \times 9 \times 0{,}3 = 8{,}37 \text{ cm}^3
Volume do prisma quadrado: O quadrado ABCD está inscrito na circunferência de diâmetro 6 cm. A diagonal do quadrado é igual ao diâmetro, ou seja, d_q = 6 cm. Usando a relação entre lado e diagonal do quadrado (d = s\sqrt{2}):
s^2 = \frac{d_q^2}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2
Portanto, a área da base quadrada é
A = 18
cm². O prisma atravessa toda a medalha, então sua altura também é
0{,}3
cm:
V_{\text{prisma}} = A \times h = 18 \times 0{,}3 = 5{,}4 \text{ cm}^3
Volume de ouro por medalha:
V_{\text{ouro}} = V_{\text{cil}} - V_{\text{prisma}} = 8{,}37 - 5{,}4 = 2{,}97 \text{ cm}^3
Volume total para 100 medalhas:
V_{\text{total}} = 100 \times 2{,}97 = \mathbf{297 \text{ cm}^3}
A resposta correta é 297 cm³. As alternativas erradas resultam de erros comuns como confundir o raio com o diâmetro ao calcular a área do quadrado inscrito, ou esquecer de converter milímetros em centímetros.
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