A figura ilustra o projeto visual para confecção de uma medalha comemorativa, com a forma de um cilindro circular reto, de diâmetro 6 cm e espessura 3 mm.
A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 100 dessas medalhas.
Considere 3,1 como valor aproximado para π.
Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?
Esta questão avalia o cálculo de volume de sólidos geométricos combinados — especificamente, a diferença entre um cilindro e um prisma de base quadrada.
A medalha é um cilindro circular reto de diâmetro 6 cm (raio r = 3 cm) e espessura 3 mm = 0{,}3 cm. O quadrado ABCD está inscrito no círculo da base, ou seja, os vértices do quadrado tocam a circunferência. Por isso, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do cilindro: d = 6 cm.
Com a relação entre diagonal e lado de um quadrado, d = s\sqrt{2}, temos:
s\sqrt{2} = 6 \Rightarrow s = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \text{ cm}
A área da base do quadrado é:
A_{\square} = s^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18 \text{ cm}^2
A área da base do cilindro é:
A_{\circ} = \pi r^2 = 3{,}1 \times 3^2 = 3{,}1 \times 9 = 27{,}9 \text{ cm}^2
A área da região de ouro em cada medalha (cilindro menos prisma quadrado) é:
A_{\text{ouro}} = 27{,}9 - 18 = 9{,}9 \text{ cm}^2
O volume de ouro em uma medalha é a área multiplicada pela espessura:
V_1 = 9{,}9 \times 0{,}3 = 2{,}97 \text{ cm}^3
Para 100 medalhas:
V_{\text{total}} = 100 \times 2{,}97 = \boxed{297} \text{ cm}^3
As alternativas incorretas surgem de erros como não converter mm para cm, não subtrair a área do prisma, ou usar a diagonal do quadrado como lado.
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