Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
Artur, com probabilidade de \frac{2}{3}
João, com probabilidade de \frac{4}{9}
Artur, com probabilidade de \frac{91}{216}
João, com probabilidade de \frac{91}{216}
Artur, com probabilidade de \frac{125}{216}
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia probabilidade com variáveis aleatórias discretas, especialmente o cálculo da probabilidade do máximo de dois dados versus um único dado.
O espaço amostral total tem 6^3 = 216 resultados igualmente prováveis. Artur vence quando \max(d_1, d_2) > d_3; João vence quando \max(d_1, d_2) \leq d_3 (empate incluído).
A estratégia mais eficiente é calcular P(João vence) e subtrair de 1. João vence quando \max(d_1, d_2) \leq d_3. Condicionando no valor k do dado de João:
P(\text{João vence}) = \sum_{k=1}^{6} P(d_3 = k) \cdot P(\max(d_1, d_2) \leq k)
Como P(d_3 = k) = \frac{1}{6} e P(\max(d_1, d_2) \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^2 (ambos os dados de Artur devem ser \leq k, independentemente), temos:
P(\text{João vence}) = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} \frac{k^2}{36} = \frac{1}{216}(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2)
= \frac{1}{216}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{216}
Portanto, a probabilidade de Artur vencer é:
P(\text{Artur vence}) = 1 - \frac{91}{216} = \frac{125}{216} \approx 57{,}9\%
Artur tem a maior probabilidade de vitória. A probabilidade \frac{91}{216} corresponde a João, não a Artur — uma distração frequente neste tipo de questão. As demais alternativas apresentam frações (\frac{2}{3} e \frac{4}{9}) que não emergem do cálculo correto com três dados.
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