Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
Artur, com probabilidade de \frac{2}{3}
João, com probabilidade de \frac{4}{9}
Artur, com probabilidade de \frac{91}{216}
João, com probabilidade de \frac{91}{216}
Artur, com probabilidade de \frac{125}{216}
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia probabilidade com variáveis aleatórias discretas, especificamente o cálculo da probabilidade do máximo de dois dados versus um único dado.
O espaço amostral total tem 6 \times 6 \times 6 = 216 resultados igualmente prováveis (dado 1 de Artur, dado 2 de Artur, dado de João).
Seja M = \max(A_1, A_2) o valor efetivo de Artur. A probabilidade de que o máximo de dois dados valha exatamente k é:
P(M = k) = \frac{k^2 - (k-1)^2}{36} = \frac{2k-1}{36}
Isso dá: P(M=1)=\tfrac{1}{36},\; P(M=2)=\tfrac{3}{36},\; P(M=3)=\tfrac{5}{36},\; P(M=4)=\tfrac{7}{36},\; P(M=5)=\tfrac{9}{36},\; P(M=6)=\tfrac{11}{36}.
Artur vence se M > J (empate é vitória de João). Logo:
P(\text{Artur vence}) = \sum_{k=1}^{6} P(M=k) \cdot P(J < k) = \sum_{k=1}^{6} \frac{2k-1}{36} \cdot \frac{k-1}{6}
Calculando cada parcela sobre 216:
0 + \frac{3}{216} + \frac{10}{216} + \frac{21}{216} + \frac{36}{216} + \frac{55}{216} = \frac{125}{216}
Como \tfrac{125}{216} \approx 0{,}579 > 0{,}5, Artur tem a maior probabilidade de vitória, com \dfrac{125}{216}.
As demais alternativas apresentam probabilidades incorretas: \tfrac{2}{3} superestima a vantagem de Artur; \tfrac{4}{9} e \tfrac{91}{216} são valores que não correspondem ao cálculo correto do máximo de dois dados contra um.
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