Um confeiteiro passou a produzir tortas em formato de cilindro circular reto, com raio da base variando entre 12 cm e 16 cm e altura de 6 cm. Essas tortas deverão ser embaladas em caixas com formato de prisma reto de base quadrada, de modo que seja possível acomodar a torta em seu interior e ainda restar pelo menos 1 cm de distância entre a torta e as superfícies internas da caixa, lateral e superior. Ele dispõe, originalmente, de caixas no formato pretendido, cujas dimensões internas são 14 cm de comprimento do lado da base e 7 cm de altura, que não atendem às suas necessidades. Portanto, ele comprará novas caixas, com o mesmo formato das caixas originais, mas com comprimento do lado da base maior, que sejam adequadas para embalar todos os tipos de torta que produz.
A aresta da base das novas caixas deve ser, no mínimo, quantos centímetros maior do que a das caixas originais?
Este problema avalia a habilidade de calcular dimensões mínimas de embalagens que acomodem sólidos geométricos com folgas especificadas — integrando geometria espacial com interpretação de restrições práticas.
A torta tem formato de cilindro circular reto com raio entre 12 cm e 16 cm e altura de 6 cm. Para embalá-la em uma caixa de base quadrada, o diâmetro da base do cilindro precisa caber no interior da caixa com pelo menos 1 cm de folga em cada lado lateral.
Para que a caixa sirva para todos os tipos de torta produzidos, ela deve ser dimensionada para o caso mais exigente: a torta com o maior raio, r = 16 cm.
O diâmetro dessa torta é d = 2r = 2 \times 16 = 32 cm. Adicionando a folga mínima de 1 cm em cada lado, o lado mínimo da base da caixa deve ser:
l_{\min} = d + 2 \times 1 = 32 + 2 = 34 \text{ cm}
Quanto à altura: a torta tem 6 cm e a folga superior exigida é de 1 cm, portanto a altura mínima da caixa é 6 + 1 = 7 cm — exatamente a altura das caixas originais, que já atendem esse requisito.
O lado da base das caixas originais é 14 cm. A diferença entre o lado mínimo necessário e o lado original é:
34 - 14 = 20 \text{ cm}
Portanto, a aresta da base das novas caixas deve ser, no mínimo, 20 cm maior do que a das caixas originais.
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