Um confeiteiro passou a produzir tortas em formato de cilindro circular reto, com raio da base variando entre 12 cm e 16 cm e altura de 6 cm. Essas tortas deverão ser embaladas em caixas com formato de prisma reto de base quadrada, de modo que seja possível acomodar a torta em seu interior e ainda restar pelo menos 1 cm de distância entre a torta e as superfícies internas da caixa, lateral e superior. Ele dispõe, originalmente, de caixas no formato pretendido, cujas dimensões internas são 14 cm de comprimento do lado da base e 7 cm de altura, que não atendem às suas necessidades. Portanto, ele comprará novas caixas, com o mesmo formato das caixas originais, mas com comprimento do lado da base maior, que sejam adequadas para embalar todos os tipos de torta que produz.
A aresta da base das novas caixas deve ser, no mínimo, quantos centímetros maior do que a das caixas originais?
Esta questão avalia geometria espacial e a relação entre as dimensões de um cilindro e um prisma de base quadrada, com foco em inequações geométricas de encaixe.
O confeiteiro produz tortas cilíndricas com raio variando entre 12 cm e 16 cm e altura de 6 cm. A caixa deve acomodar a torta com pelo menos 1 cm de folga em todas as faces laterais e na face superior.
Para a altura da caixa: a torta tem 6 cm de altura e é necessário 1 cm de folga no topo, então H \geq 6 + 1 = 7 \text{ cm}. As caixas originais já têm 7 cm de altura, então esse requisito está atendido.
Para o lado da base quadrada: o cilindro é posicionado centralizado na base quadrada. A distância mínima da borda do cilindro até cada face lateral é \dfrac{L}{2} - r, onde L é o lado da base e r é o raio da torta. A condição de folga mínima exige:
\frac{L}{2} - r \geq 1 \implies L \geq 2r + 2
Como o confeiteiro produz tortas com raio de até 16 cm, a caixa deve acomodar o pior caso:
L \geq 2 \times 16 + 2 = 34 \text{ cm}
A diferença em relação à caixa original (lado = 14 cm) é:
34 - 14 = 20 \text{ cm}
Portanto, a aresta da base das novas caixas deve ser no mínimo 20 cm maior do que a das caixas originais. Quem considera apenas o raio médio (14 cm → diâmetro 28 + 2 = 30, diferença 16) ou não acrescenta a folga dos dois lados chega a valores menores, como 16 ou 18 — erros comuns por esquecer que a folga de 1 cm se aplica em cada lado oposto da caixa.
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