Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
P=4\cdot\log[-K\cdot(t+1)\cdot(t-19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
10^{0{,}5}
— Gabarito (resposta correta)10^8
\frac{10^{2{,}5}}{84}
\frac{10^{2{,}5}}{99}
25\times10^{-2}
Esta questão avalia propriedades de logaritmos, condições de existência e otimização de funções.
Para que a pressão não ultrapasse 10 atm durante todo o funcionamento (0 \leq t \leq 10), deve-se ter P \leq 10 para todo t nesse intervalo:
4\cdot\log[-K\cdot(t+1)(t-19)] \leq 10
Dividindo por 4:
\log[-K\cdot(t+1)(t-19)] \leq 2{,}5
Como K > 0 e t \in [0,10] implica t - 19 < 0, temos -K(t+1)(t-19) = K(t+1)(19-t) > 0, o que garante a existência do logaritmo. Aplicando a definição:
K(t+1)(19-t) \leq 10^{2{,}5}
Logo: K \leq \dfrac{10^{2{,}5}}{(t+1)(19-t)} para todo t \in [0,10].
Para que isso valha em todo o intervalo, K deve ser limitado pela situação mais restritiva, ou seja, quando o denominador é máximo. Definindo f(t) = (t+1)(19-t), encontramos o máximo fazendo a substituição u = t+1:
f = u(20-u)
Pelo produto de soma constante (u + (20-u) = 20), o produto é máximo quando u = 20 - u, ou seja, u = 10, que corresponde a t = 9. O valor máximo é:
f(9) = 10 \times 10 = 100
Portanto, o maior valor de K é:
K = \frac{10^{2{,}5}}{100} = \frac{10^{2{,}5}}{10^2} = 10^{0{,}5}
As demais alternativas resultam de erros no processo de otimização. Uma distração comum é avaliar o produto nos extremos do intervalo: em t = 10 obtém-se 11 \times 9 = 99, levando a \frac{10^{2{,}5}}{99}, que não é o valor máximo do denominador e portanto não é o maior K possível. Outro erro frequente é não dividir corretamente a desigualdade por 4 antes de aplicar a definição de logaritmo.
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