Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
P=4\cdot\log[-K\cdot(t+1)\cdot(t-19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
10^{0{,}5}
— Gabarito (resposta correta)10^8
\frac{10^{2{,}5}}{84}
\frac{10^{2{,}5}}{99}
25\times10^{-2}
Esta questão avalia função logarítmica combinada com otimização de função quadrática.
Para que a pressão P esteja definida, o argumento do logaritmo deve ser positivo. Como K > 0, temos:
-K(t+1)(t-19) > 0 \implies (t+1)(19-t) > 0
o que ocorre para -1 < t < 19. Como t \geq 0, a máquina opera em t \in [0, 19).
Para 10 horas contínuas de uso (de t = 0 a t = 10), a restrição de pressão P \leq 10 implica:
4 \cdot \log[K(t+1)(19-t)] \leq 10
\log[K(t+1)(19-t)] \leq 2{,}5
K(t+1)(19-t) \leq 10^{2{,}5}
Para que isso valha para todo t \in [0,10], basta exigir que valha no máximo de f(t) = (t+1)(19-t) nesse intervalo. Expandindo:
f(t) = -t^2 + 18t + 19
O vértice ocorre em t = \dfrac{18}{2} = 9, que pertence a [0, 10]. Logo:
f(9) = (9+1)(19-9) = 10 \times 10 = 100
A condição sobre K torna-se:
K \cdot 100 \leq 10^{2{,}5} \implies K \leq \frac{10^{2{,}5}}{100} = \frac{10^{2{,}5}}{10^2} = 10^{0{,}5}
Portanto, o maior valor possível de K que atende à recomendação do fabricante é \boxed{10^{0{,}5}}.
As demais alternativas surgem de erros comuns: usar o valor de f(t) nos extremos do intervalo (como f(10) = 99, que daria K = \tfrac{10^{2{,}5}}{99}) em vez do máximo real no vértice, ou simplesmente aplicar a condição em um único ponto sem verificar o intervalo completo.
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