Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.
O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.
O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.
Considere 3 como aproximação para π e desconsidere as espessuras das muretas.
O projeto a ser aprovado é
Esta questão avalia o cálculo de área de seção transversal de semicírculos e a comparação entre duas configurações geométricas.
A seção transversal de cada túnel é um semicírculo, cuja área é dada por A = \dfrac{\pi r^2}{2}, usando \pi \approx 3.
Projeto 1 — dois túneis separados:
O túnel de automóveis tem diâmetro 12\text{ m}, logo raio r_1 = 6\text{ m}:
A_{\text{carros}} = \frac{3 \times 6^2}{2} = \frac{3 \times 36}{2} = 54 \text{ m}^2
O túnel de bicicletas tem diâmetro 6\text{ m}, logo raio r_2 = 3\text{ m}:
A_{\text{bikes}} = \frac{3 \times 3^2}{2} = \frac{3 \times 9}{2} = 13{,}5 \text{ m}^2
Área total do Projeto 1:
A_1 = 54 + 13{,}5 = 67{,}5 \text{ m}^2
Projeto 2 — um único túnel com largura total 3 + 6 + 6 + 3 = 18\text{ m}, logo raio r_3 = 9\text{ m}:
A_2 = \frac{3 \times 9^2}{2} = \frac{3 \times 81}{2} = 121{,}5 \text{ m}^2
Como 67{,}5 \text{ m}^2 < 121{,}5 \text{ m}^2, o Projeto 1 apresenta menor área de seção transversal e, portanto, exige menos material retirado da montanha, sendo o projeto aprovado.
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