Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.
De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?
Esta questão avalia análise combinatória, especificamente a distribuição de elementos em grupos com restrições, usando o princípio aditivo (soma de casos mutuamente exclusivos) e o princípio multiplicativo.
A condição sobre o filho mais velho divide o problema em dois casos disjuntos:
Caso 1 — O mais velho recebe a bicicleta (mas não o celular).
Ele escolhe mais 2 presentes dentre os 6 restantes (excluindo bicicleta e celular): \binom{6}{2} = 15 maneiras.
O do meio escolhe 2 presentes entre os 5 que sobraram (que incluem o celular): \binom{5}{2} = 10 maneiras.
O mais novo fica com os 3 restantes: \binom{3}{3} = 1 maneira.
Total do Caso 1: 15 \times 10 \times 1 = 150.
Caso 2 — O mais velho recebe o celular (mas não a bicicleta).
Por simetria, os cálculos são idênticos: \binom{6}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{3} = 15 \times 10 \times 1 = 150.
Como os dois casos são mutuamente exclusivos, aplica-se o princípio aditivo:
150 + 150 = \mathbf{300}
Portanto, existem 300 maneiras distintas de distribuir os presentes.
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